题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.
(1)证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
（1）见解析（2）an＝
【解析】由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，
两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，
即an＋1＝ban＋2n.①
(1)证明 当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n，
于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)，
又a1－1·21－1＝1≠0，所以{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)当b＝2时，由(1)知an－n·2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)·2n－1；当b≠2时，由①得，an＋1－
·2n＋1＝ban＋2n－
·2n＋1＝ban－
·2n＝b 
，因此an＋1－
·2n＋1＝b 
＝
·bn，
得an＝
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