题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
，
，点
、
分别为
，
的中点，且平面
平面.
（1）求证：
平面
.
（2）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）首先可得
，再面面垂直的性质可得
平面
，即可得到
，再由
，即可得到线面垂直；
（2）过点
做平面的垂线
，以为原点，分别以
，
，为
，
，
轴建立空间直角坐标系
，利用空间向量法求出线面角；
解：（1）∵
，点
为
的中点，∴，又∵平面
平面，平面
平面
，
平面
，
∴平面，又
平面，∴，
又∵，分别为，
的中点，
∴
，∴，
又
平面
，平面，
，
∴
平面.
（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∵
，∴
，
，
，
，
∴
，
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
，令
，得
，
∴
，
∴直线
与平面所成角的正弦值为.
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，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求
的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
