题目内容
【题目】已知椭圆
与抛物线
有共同的焦点，且离心率为
，设
分别是
为椭圆的上下顶点
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
与
轴不垂直的直线
与椭圆交于不同的两点
，当弦
的中点
落在四边形
内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
（1）由已知条件得到方程组，解得即可；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为
，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由
得到
的范围，设弦
中点坐标为
则
，所以
在
轴上方，只需位于
内（含边界）就可以，即满足
，得到不等式组，解得即可；
解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为
，离心率为
，
，
，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为
联立
，消元整理得
，
，
由
，解得
设弦中点坐标为
，
所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，
即满足，即
，
解得或
【题目】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
数学成绩 | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
物理成绩 | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为
，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩
关于数学成绩
的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程
，
其中
，
.
|
|
|
|
76 | 83 | 812 | 526 |
【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在
内，则为合格品，否则为不合格品.现统计得到相关统计情况如下：
甲套设备的样本的频率分布直方图
乙套设备的样本的频数分布表
质量指标值 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 1 | 6 | 19 | 18 | 5 | 1 |
（1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
参考公式：
，其中
