Question

14．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，则该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 过F作斜率为-1的直线方程为y=-（x-c），与双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，可得P（$\frac{ac}{b+a}$，$\frac{bc}{b+a}$），利用△OFP的面积为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，可得a=3b，即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：过F作斜率为-1的直线方程为y=-（x-c），
与双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，可得P（$\frac{ac}{b+a}$，$\frac{bc}{b+a}$），
∵△OFP的面积为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，
∴$\frac{1}{2}•c•$$\frac{bc}{b+a}$=$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，
∴a=3b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．