题目内容
19．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为$\frac{1}{2}$．直线l：y=kx-4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．
分析 （Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．
（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，然后求解k的范围即可．
解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}+\frac{p}{2}=3}\\{{x_0}^2+{y_0}^2=9}\\{{y_0}^2=2p{x_0}}\end{array}}\right.$…（2分）
解得：${x_0}=1，{y_0}=±2\sqrt{2}，p=4$，
所以抛物线C1的方程为：y2=8x…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2-n2=c2=4，
∵椭圆C2的离心率为$\frac{1}{2}$，∴$\frac{2}{m}=\frac{1}{2}⇒m=4$，$n=2\sqrt{3}$，
∴椭圆C2的方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$…（6分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-4\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\;\end{array}\right.$得（4k2+3）x2-32kx+16=0
由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{32k}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{16}{{4{k^2}+3}}$…（8分）
由△＞0⇒（-32k）2-4×16（4k2+3）＞0$⇒k＞\frac{1}{2}$或$k＜-\frac{1}{2}$…①…（10分）
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（{x_1}，{y_1}）•（{x_2}，{y_2}）={y_1}{y_2}+{x_1}{x_2}$
=$（k{x_1}-4）•（k{x_2}-4）+{x_1}{x_2}=（{k^2}+1）{x_1}{x_2}-4k（{x_1}+{x_2}）+16$
=$（{k^2}+1）×\frac{16}{{4{k^2}+3}}-4k×\frac{32k}{{4{k^2}+3}}+16$
=$\frac{{16（4-3{k^2}）}}{{4{k^2}+3}}＞0$$⇒-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…②
由①、②得实数k的范围是$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜k＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…（13分）
点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．
| A． | 29 | B． | 28 | C． | 27 | D． | 26 |
| A． | 第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定 | |
| B． | 第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定 | |
| C． | 第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定 | |
| D． | 第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定 |
如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是甲．| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |