Question

19．已知f′（x）是定义在R上的函数y=f（x）的导函数，且f（x）＜f′（x），则a=$\frac{1}{2}$f（ln2），b=$\frac{1}{e}$f（1），c=f（0）的大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． c＜b＜a
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得a=g（ln2）与c=g（0）、b=g（1）的大小关系，即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）•{e}^{x}-f（x）•{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又a=$\frac{f（ln2）}{{e}^{ln2}}$=g（ln2），b=$\frac{f（1）}{e}$=g（1），c=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=g（0），
由0＜ln2＜1，可得g（0）＜g（ln2）＜g（1），
即c＜a＜b．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查导数的运算性质的运用，以及单调性的运用：比较大小，属于中档题．