题目内容

9.如图,在四边形ABEF中,AF⊥FB,O为AB的中点,矩形ABCD所在的平面垂直于平面ABEF.
(1)求证:AF⊥平面CBF;
(2)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF.

分析 (1)欲证AF⊥平面CBF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直,而AF⊥CB,AF⊥BF,BF∩BC=B,满足定理条件;
(2)欲证OM∥平面DAF,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM/与平面DAF内一直线平行,设DF的中点为N,OM∥AN又AN?平面DAF,OM?平面DAF,满足定理条件.

解答 (1)证明:∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴CB⊥平面ABEF,
∵AF?平面ABEF,
∴AF⊥CB,
又AF⊥BF,且BF∩BC=B,BF、BC?平面CB,
∴AF⊥平面CBF.
(2)证明:设DF的中点为N,则MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD,又AO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD,则MN$\stackrel{∥}{=}$AO,
∴MNAO为平行四边形,
∴OM∥AN,
又AN?平面DAF,OM?平面DAF,
∴OM∥平面DAF.

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面平行的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.

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