Question

7．在平面直角坐标系内，已知两点E（-1，0），F（1，0），若将动点P（x，y）的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的$\sqrt{2}$倍后得到点Q（$\sqrt{2}$x，y），且满足$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{FQ}$=3，直线l经过y轴上一点M（0，m），且与动点P的轨迹C交于相异两点A，B，且$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（$\sqrt{2}$x，y），表示出$\overrightarrow{EQ}$=（$\sqrt{2}$x+1，y），$\overrightarrow{FQ}$=（$\sqrt{2}$x-1，y），利用$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{FQ}$=3，即可求得动点P所在曲线C的方程；
（2）先设l与椭圆C交点为A、B的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，再表示出$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，将两根之和、两根之积代入，整理可得m的不等式，解出m的范围．

解答 解：（1）设点P的坐标为（x，y），
则点Q的坐标为（$\sqrt{2}$x，y）．
依据题意，有$\overrightarrow{EQ}$=（$\sqrt{2}$x+1，y），$\overrightarrow{FQ}$=（$\sqrt{2}$x-1，y）．
∵$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{FQ}$=3，
∴2x²-1+y²=3．
∴动点P所在曲线C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（k²+2）x²+2kmx+（m²-4）=0，
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-4）=2k²-m²+4＞0（*）
x₁+x₂=$\frac{-2km}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，∴-x₁=3x₂
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2{x}_{2}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-3{{x}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（$\frac{-2km}{2+{k}^{2}}$）²+4•$\frac{{m}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$=0，
整理得2k²m²+m²-2k²-4=0，
m²=1时，不成立；
m²≠1时，k²=$\frac{4-{m}^{2}}{2{m}^{2}-2}$，
由（*）式得k²＞$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
即有$\frac{4-{m}^{2}}{2{m}^{2}-2}$＞$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．
当直线的斜率不存在时，即直线为x=0，
可得交点为（0，2），（0，-2），此时M（0，1）或（0，-1）．
即所求m的取值范围为（-2，-1]∪[1，2）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力．