题目内容

2.已知定义在R上的函数f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x2-x,且对任意的x满足f(x-1)=af(x),a为常数且a≠0,则(  )
A.f(6)<f(6.5)B.f(6.5)<f(6)C.f(6)<f(7)D.f(7)<f(6)

分析 根据函数的递推关系,求出函数在[6,7]上的单调性,结合一元二次函数的性质进行判断即可.

解答 解:∵对任意的x满足f(x-1)=af(x),a为常数且a≠0,
∴f(x)=$\frac{f(x-1)}{a}$,
若x∈[6,7],
则x-6∈[0,1],
则f(x)=$\frac{f(x-1)}{a}$=$\frac{f(x-2)}{{a}^{2}}=\frac{f(x-3)}{{a}^{3}}=…$=$\frac{f(x-6)}{{a}^{6}}$,
∵当x∈[0,1]时,f(x)=x2-x,
∴f(x)=$\frac{f(x-6)}{{a}^{6}}$=$\frac{(x-6)^{2}-(x-6)}{{a}^{6}}$=$\frac{1}{{a}^{6}}$(x2-13x+42),
则函数的对称轴为x=$\frac{13}{2}$,抛物线开口向上,
则函数在[6,6.5]上单调递减,在[6,5,7]上单调递增,
则f(6.5)<f(6),f(6)=f(7),
故选:B.

点评 本题主要考查函数值的大小比较,根据抽象函数的关系求出函数在[6,7]上的单调性是解决本题的关键.

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