题目内容
【题目】已知圆
，直线
.圆
与
轴交于
两点，
是圆上不同于的一动点，
所在直线分别与
交于
.
（1）当
时，求以
为直径的圆的方程；
（2）证明：以为直径的圆截轴所得弦长为定值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）讨论点
的位置，根据直线
的方程，直线
的方程分别与直线
方程联立，得出
的坐标，进而得出圆心坐标以及半径，即可得出该圆的方程；
（2）讨论点的位置，根据直角三角形的边角关系得出的坐标，进而得出圆心坐标以及半径，再由圆的弦长公式化简即可证明.
（1）由圆的方程可知，
①当点在第一象限时，如下图所示
当
时，
，
所以直线的方程为
由
，解得
直线的方程为
由
，解得
则
的中点坐标为
，
所以以为直径的圆的方程为
②当点在第四象限时，如下图所示
当时，
，
所以直线的方程为
由
，解得
直线的方程为
由
，解得
则的中点坐标为，
所以以为直径的圆的方程为
综上，以为直径的圆的方程为
（2）①当点在圆
上半圆运动时，取直线交
轴于点
，如下图所示
设
，则
则以为直径的圆的圆心坐标为
，半径
所以以为直径的圆截轴所得弦长为
②当点在圆下半圆运动时，取直线交轴于点，如下图所示
设，则
则以为直径的圆的圆心坐标为
，半径
所以以为直径的圆截轴所得弦长为
综上，以为直径的圆截轴所得弦长为定值.
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