题目内容
【题目】如图,在直四棱柱中,底面
为菱形,
,
是
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若,
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由等腰三角形三线合一的性质可得,再由四棱柱
是直四棱柱,可得
,根据线面垂直的判定定理判断可得;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求二面角的余弦值;
解:(1)证明:∵,
,∴
是等边三角形,
∴是
的中点,∴
.
∵四棱柱是直四棱柱,∴
平面
.
∵平面
,∴
.
∵,且
平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)解:取的中点
,则
,由(1)知,直线
,
,
两两相互垂直,如图,以
为原点,分别以
,
,
所在直线为
,
,
轴,建立空间直角坐标系
.则
,
,
,
,
∴,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
令,则
,
,可得
,
.
设平面的一个法向量为
,则
,即
,
令,则
,
,可得
,
.
∴,从而
,
即二面角的正弦值为
.
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