Question

17．已知命题p：“?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}$x²-x-a≥0”与命题q：“?x∈R，x²+2ax+8-2a≤0”，若p或q真，p且q假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时a的范围，若p或q真，p且q假，则p，q一真一假，从而求出a的范围．

解答 解：命题p：“?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}$x²-x-a≥0”，
则：a≤$\frac{1}{2}$x²-x，x∈[1，2]，
令h（x）=$\frac{1}{2}$x²-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{2}$，
∴h（x）在[1，2]递增，
∴h（x）_min=h（1）=-$\frac{1}{2}$，
∴p为真时，a≤-$\frac{1}{2}$，p为假时，a＞-$\frac{1}{2}$；
命题q：“?x∈R，x²+2ax+8-2a≤0”，
∴二次函数f（x）=x²+2ax+8-2a至少有1个交点，
∴△=4a²-4（8-2a）≥0，解得：a≥2或a≤-4，
∴q为真时，a≥2或a≤-4，q为假时，-4＜a＜2，
若p或q真，p且q假，则p，q一真一假，
①p真q假时：-4＜a≤-$\frac{1}{2}$，
②p假q真时：a≥2．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．