已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于M点.过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A.B两点．(1)F为抛物线C的焦点.若|AM|=54|AF|.求k的值,(2)如果抛物线C上总存在点Q.使得QA⊥QB.试求k的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线C：y²=4x的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点（A在M、B之间）．
（1）F为抛物线C的焦点，若|AM|=

|AF|，求k的值；
（2）如果抛物线C上总存在点Q，使得QA⊥QB，试求k的取值范围．

（1）法一：由已知M（-1，0）（1分）
设A（x₁，y₁），则|AM|=

1+k2

|x1+1|，（1分）
|AF|=

(x1-1)2+

(x1-1)2+4x1

=|x₁+1|，（1分）
由4|AM|=5|AF|得，4

1+k2

=5，
解得k=±

（2分）
法二：记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为a，
由抛物线的定义知|AM|=

d，（2分）
∴cosa=±

|AM|

=±

，
∴k=tana=±

（3分）
（2）设Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x

y=k(x+1)

得ky²-4y+4k=0，（1分）
首先由

k≠0

16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0
k_QA=

y0-y1

x0-x1

y0-y1

y0+y1

，
同理k_QB=

y0+y2

（2分）
由QA⊥QB得

y0+y1

•

y0+y2

=-1，（2分）
即：y₀²+y₀（y₁+y₂）+y₁y₂=-16，
∴

y0+20=0，（2分）
△=(

)2-80≥0，得-

≤k≤

且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范围为[-

，0）∪（0，

]（3分）

练习册系列答案

相关题目

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为4（

+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

已知直线l：y=x+2，与抛物线x²=y交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）两点，l与x轴交于点C（x_C，0）．
（1）求证：

；
（2）求直线l与抛物线所围平面图形的面积；
（3）某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时（如图1所示），尝试拖动改变直线l与抛物线的方程，发现

与

的结果依然相等（如图2、图3所示），你能由此发现出关于抛物线的一般结论，并进行证明吗？

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0），经过点（3，-2）与向量（-1，1）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又

．
（Ⅰ）求椭圆C长轴长的取值范围；
（Ⅱ）若|

，求椭圆C的方程．

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1．
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1，若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

已知离心率为

的椭圆E：

=1(a＞b＞0)与圆C：x²+（y-3）²=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

已知抛物线C：y²=x，直线l：y=k（x-1）+1，要使抛物线C上存在关于对称的两点，求实数k的取值范围．

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点P(1，

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F₁的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF₂为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为2

，且过点M(-

，

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点N(

，1)的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

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