题目内容

已知抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点（A在M、B之间）．
（1）F为抛物线C的焦点，若|AM|=
5
4
|AF|，求k的值；
（2）如果抛物线C上总存在点Q，使得QA⊥QB，试求k的取值范围．
（1）法一：由已知M（-1，0）（1分）
设A（x1，y1），则|AM|=
1+k2
|x1+1|，（1分）
|AF|=
(x1-1)2+
y21

=
(x1-1)2+4x1

=|x1+1|，（1分）
由4|AM|=5|AF|得，4
1+k2
=5，
解得k=±
3
4
（2分）
法二：记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为a，
由抛物线的定义知|AM|=
5
4
d，（2分）
∴cosa=±
d
|AM|
=±
4
5
，
∴k=tana=±
3
4
（3分）
（2）设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
y2=4x
y=k(x+1)
得ky2-4y+4k=0，（1分）
首先由
k≠0
16-16k2＞0
得-1＜k＜1且k≠0
kQA=
y0-y1
x0-x1
=
y0-y1
y20
4
-
y21
4
=
4
y0+y1
，
同理kQB=
4
y0+y2
（2分）
由QA⊥QB得
4
y0+y1
•
4
y0+y2
=-1，（2分）
即：y02+y0（y1+y2）+y1y2=-16，
∴
y20
+
4
k
y0+20=0，（2分）
△=(
4
k
)2-80≥0，得-
5
5
≤k≤
5
5
且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范围为[-
5
5
，0）∪（0，
5
5
]（3分）
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（
2
+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；
（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
已知直线l：y=x+2，与抛物线x2=y交于A（xA，yA），B（xB，yB）两点，l与x轴交于点C（xC，0）．
（1）求证：
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
；
（2）求直线l与抛物线所围平面图形的面积；
（3）某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时（如图1所示），尝试拖动改变直线l与抛物线的方程，发现
1
xA
+
1
xB
与
1
xC
的结果依然相等（如图2、图3所示），你能由此发现出关于抛物线的一般结论，并进行证明吗？
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），经过点（3，-2）与向量（-1，1）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求椭圆C长轴长的取值范围；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求椭圆C的方程．
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
已知离心率为
6
3
的椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
已知抛物线C：y2=x，直线l：y=k（x-1）+1，要使抛物线C上存在关于对称的两点，求实数k的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为2
3
，且过点M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点N(
1
2
，1)的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

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