题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=-2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m的取值范围．
（1）由条件得
c
a
=
2
2
(a+c)(a-c)=1
，解得a=
2
，b=c=1
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1．
（2）由条件知，F（-1，0），-
2
＜m＜
2
．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（-2，y1），则由
λy=x-m
x2
2
+y2=1
得（λ2+2）y2+2λmy+m2-2=0，
由-
2
＜m＜
2
知△＞0恒成立，且y1+y2=-
2λm
λ2+2
，y1y2=
m2-2
λ2+2
．
由PQ⊥NF得y1=λ，（1）
由NQ⊥PF得
y2-y1
x2+2
×
y1
x1+1
=-1，（2）
由（1）（2）式化简得，（λ2+1）y1y2+λ（m+1）（y1+y2）+（m+1）（m+2）=0
化简得，mλ2=-（3m2+6m+2）（显然m≠0），
由λ2≥0，-
2
＜m＜
2
得，解得
3
-3
3
≤m＜0．
∴m的取值范围[
3
-3
3
，0）．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=
5
5
，过F1的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF2的周长为4
5

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆E中心的任意弦，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，求△APB面积的最小值．
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
已知抛物线C：y2=x，直线l：y=k（x-1）+1，要使抛物线C上存在关于对称的两点，求实数k的取值范围．
直线l过x轴上的点M，l交椭圆
x2
8
+
y2
4
=1于A，B两点，O是坐标原点．
（1）若M的坐标为（2，0），当OA⊥OB时，求直线l的方程；
（2）若M的坐标为（1，0），设直线l的斜率为k（k≠0），是否存直线l，使得l垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
若直线y=kx+2与曲线y=
x2-1
，|x|＞1
1-x2
，|x|≤1
恰有两个不同的交点，则k∈______．
已知圆的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A1、A2，直线A1A2恰好经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l：x=-4于两点Q、R，求证
OQ
•
OR
为定值．
已知直线l与椭圆
x2
36
+
y2
9
=1交于A和B两点，点（4，2）是线段AB的中点，则直线l的方程是______．

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