题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
是边长为2的等边三角形，
，
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）
，
分别是
，
的中点，
是线段
上的动点，若二面角
的平面角的大小为
，试确定点的位置.
【答案】（1）证明见解析；（2）
为线段
上靠近
点的四等分点，且坐标为
【解析】
（1）先通过线面垂直的判定定理证明
平面
，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角
的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定.
（1）证明：因为
，
，
，
所以
，即
.
又因为
，
，所以
，
，所以平面.
因为
平面
，所以平面
平面.
（2）解：连接
，因为
，
是
的中点，所以
.
由（1）知，平面平面，所以
平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
则平面的一个法向量是
，
，
，
.
设
，
，
，
，
代入上式得
，
，
，所以
.
设平面
的一个法向量为
，
，
，
由
，得
.
令
，得
.
因为二面角的平面角的大小为
，
所以
，即
，解得
.
所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.
世纪百通期末金卷系列答案【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中
构成以2为公比的等比数列.
（1）求的值；
（2）填写下面
列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为
，求的分布列及数学期望.
附：
，其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：
汽车行驶路线 | 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） | 在堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） | 堵车的概率 | 运费（万元） |
公路1 | 1 | 4 |
| 2 |
公路2 | 2 | 3 |
| 1 |
（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X（单位：万元），求X的分布列和EX；
（2）若
，
，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？
（注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）．
