题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
在其定义域内单调递增，求实数
的最大值；
（2）若存在正实数对
，使得当
时，
能成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）4（2）
【解析】
（1）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出
的范围，
（2）根据题意可得
，因此原问题转化为存在正实数
使得等式
成立，构造函数
，利用导数求出函数的值域，即可求出的取值范围．
解析：（1）由题意得
，
函数
在其定义域内单调递增，则
在
内恒成立，
故
.
因为
（等号成立当且仅当
即
）
所以
（经检验
满足题目），所以实数的最大值为4.
（2）由题意得
，则
，因此原问题转化为：
存在正数使得等式
成立.
整理并分离得
，记
，
要使得上面的方程有解，下面求
的值域，
，故在
上是单调递减，
在
上单调递增，
所以
，
又
，故当
，
，
综上所述，
，
即实数的取值范围为.
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