题目内容
【题目】设正数数列的前
项和为
,对于任意
,
是
和
的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,
是
的前
项和,是否存在常数
,对任意
,使
恒成立?若存在,求
取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】;
存在实数
符合题意.
【解析】
根据
是
和
的等差中项,可知
,且
,则当
时,有
,两式相减并化简即可求解;
由
知,
,由题意知,
, 假设存在常数
,对任意
,使
恒成立等价于对任意
,
恒成立,整理化简,利用分离参数法求解恒成立问题即可.
由
是
和
的等差中项可知,
,且
,
则当时,有
,
两式相减可得, ,
即,
,化简可得,
,
所以数列是以
为首项,
为公差的等差数列,
所以数列的通项公式为
;
由
知,
,因为
,所以数列
的前
项和
,
假设存在常数,对任意
,使
恒成立
即对任意,
恒成立,
等价于对任意,
恒成立,即
小于
的最小值即可.
所以满足对任意
,使
恒成立.
所以存在这样的实数,对任意
,使
恒成立,实数
的取值范围为
.
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