Question

某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

Answer 1

（1）40元；（2）至少应达到10.2万件，每件定价为30元．

试题分析：（1）这是函数应用题中涉及销售的问题，要清楚知道常识性的等式：销售总收入＝销售单价×销售量．提价为元时，销售量是（）万件，总收入为，不低于原收入，得不等式；（2）关键是弄懂原收入与总投入之和是多少？原收入，总投入，明年的销售收入不低于原收入与总投入之和就是不等式
，根据问题的要求，此式变为时，有解（注意不是恒成立），所以的范围是不小于的最小值．
试题解析：（1）设每件定价为元，依题意，有，
整理得，解得．
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．   7′
（2）依题意，时，
不等式有解,等价于时，有解, （当且仅当时，等号成立）
.
∴当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．  14′