Question

【题目】如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；
（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，

∴B1C1⊥平面ABB1A1；

∵A1B平面ABB1A1，

∴B1C1⊥A1B．

又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，

∴A1B⊥平面ADC1B1，

∵A1B平面A1BE，

∴平面ADC1B1⊥平面A1BE；

（Ⅱ）证明：连接EF，EF∥ ，且EF= ，

设AB1∩A1B=O，

则B1O∥C1D，且 ，

∴EF∥B1O，且EF=B1O，

∴四边形B1OEF为平行四边形．

∴B1F∥OE．

又∵B1F平面A1BE，OE平面A1BE，

∴B1F∥平面A1BE，

（Ⅲ）解： = = = = ．

【解析】（Ⅰ）由正方体可得：B1C1⊥平面ABB1A1，B1C1⊥A1B．又A1B⊥AB1，可得A1B⊥平面ADC1B1，即可证明．（Ⅱ）证明：连接EF，利用三角形中位线定理可得四边形B1OEF为平行四边形．可得B1F∥OE．即可证明B1F∥平面A1BE，（Ⅲ）利用 = = 即可得出．