Question

【题目】已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线 （t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+8cosθ． （Ⅰ）将曲线C1 ， C2分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线；
（Ⅱ）设F（1，0），曲线C1与曲线C2相交于不同的两点A，B，求|AF|+|BF|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲线 （t为参数），

将曲线C1的参数方程消去参数t，

化为普通方程得y=﹣x+1，表示一条直线．

曲线C2的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+8cosθ．

由cos2θ=1﹣2sin2θ，得曲线C2的方程可变形为ρ2sin2θ=4ρcosθ，

化为直角坐标方程可得y2=4x，曲线C2表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线

（Ⅱ）由 ，消去y，可得x2﹣6x+1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，

由题意知F（1，0）为曲线C2的焦点

所以|AF|+|BF|=（x1+1）+（x2+1）=x1+x2+2=8

【解析】（Ⅰ）曲线C1的参数方程消去参数t，化为普通方程得y=﹣x+1，表示一条直线；由cos2θ=1﹣2sin2θ，得曲线C2的方程可变形为ρ2sin2θ=4ρcosθ，化为直角坐标方程可得y2=4x，曲线C2表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线．（Ⅱ）由 ，得x2﹣6x+1=0，由题意知F（1，0）为曲线C2的焦点，由此能求出|AF|+|BF|的值．