Question

（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。
（1）求证：AB₁//面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（3）若在线段AB₁上存在点P，使得CP面BDC₁，试求AA₁的长及点P的位置。

Answer 1

（1）AB₁//面BDC₁
（2）二面角C₁—BD—C的余弦值：
（3）AA₁=2，点P位置是在线段AB₁上且

（2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC­₁，面ABC，
则BC平面AC₁，CC₁AC
如图建系，则
设平面C₁DB的法向量为    则
又平面BDC的法向量为
二面角C₁—BD—C的余弦值：  8分
（3）设，
 
又面BDC₁，
解得 
所以AA₁=2，点P位置是在线段AB₁上且 12分