Question

10．已知点M（x，5）、N（-2，y），点P（1，1）在直线MN上，且$|{\overrightarrow{MP}}|=2|{\overrightarrow{PN}}|$，求点M，N的坐标．

Answer 1

分析 分类得出由$|\overrightarrow{MP}|=2|\overrightarrow{PN}|可知，\overrightarrow{MP}=±2\overrightarrow{PN}$．
（1）$当\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{PN}时，λ=2$，运用坐标相等得出$\frac{x+2×（-2）}{1+2}=1，\frac{5+2y}{1+2}=1$，求解即可
（2）$当\overrightarrow{MP}=-2\overrightarrow{PN}时，λ=-2$，运用坐标相等得出$\frac{x+（-2）×（-2）}{1+（-2）}=1，\frac{5+（-2）y}{1+（-2）}=1$，求解即可
分两类解决．

解答 解：由$|\overrightarrow{MP}|=2|\overrightarrow{PN}|可知，\overrightarrow{MP}=±2\overrightarrow{PN}$．
设点P分$\overrightarrow{MN}$所成的比为λ．
（1）$当\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{PN}时，λ=2$
∴$\frac{x+2×（-2）}{1+2}=1，\frac{5+2y}{1+2}=1$，
解得x=7，y=-1，
故所求点的坐标为M（7，5），N（-2，-1）．
（2）$当\overrightarrow{MP}=-2\overrightarrow{PN}时，λ=-2$
∴$\frac{x+（-2）×（-2）}{1+（-2）}=1，\frac{5+（-2）y}{1+（-2）}=1$，
解得x=-5，y=3，
故所求点的坐标为M（-5，5），N（-2，3）．

点评 本题考察了运用向量的坐标问题求解解析几何中的点的坐标，关键时分类得出共线的向量相等问题．