题目内容
13.已知椭圆F:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{1}{3}$,左焦点为F1,点F1到直线ax+by=0的距离为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$.(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P,Q两点,求证:|PF1|+|QF1|-|PQ|为定值.
分析 (Ⅰ)左焦点设为(-c,0),则(-c,0)到直线ax+by=0的距离为d=$\frac{|ac|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$,求得椭圆方程.
(Ⅱ)在圆中,M是切点,$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$,得(8+9k2)x2+18kmx+9m2-72=0,则x1+x2=$\frac{-18km}{8+9{k}^{2}}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{m}^{2}-72}{8+9{k}^{2}}$,求出:|PF1|,|QF1|,|PQ|的值,继而得到答案.
解答 解:(Ⅰ)∵$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$①,左焦点设为(-c,0),则(-c,0)到直线ax+by=0的距离为d=$\frac{|ac|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$,
∴$\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{9}{17}$②,b2+c2=a2③由①②③得:a2=9,b2=8,∴椭圆方程为:$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$;
(Ⅱ)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+\frac{{y}_{1}^{2}}{8}=1$∴$|P{F}_{2}|=\sqrt{({x}_{1}-1)^{2}-{{y}_{1}}^{2}}=\sqrt{(\frac{{x}_{1}}{3}-3)^{2}}$,
∵0<x1<3,|PF2|=3-$\frac{{x}_{1}}{3}$,
同理|QF2|=3-$\frac{{x}_{2}}{3}$
在圆中,M是切点,
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$,得(8+9k2)x2+18kmx+9m2-72=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=$\frac{-18km}{8+9{k}^{2}}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{m}^{2}-72}{8+9{k}^{2}}$
∴$|PQ|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{(\frac{-18km}{8+9{k}^{2}})^{2}-4×\frac{9{m}^{2}-72}{8+9{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{4×9×8×(9{k}^{2}-{m}^{2}+8)}{(8+9{k}^{2})^{2}}}$
∵PQ与圆相切,∴$\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=2\sqrt{2}$即m=$\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}$,∴$|PQ|=-\frac{6km}{8+9{k}^{2}}$
所以:|PF1|+|QF1|-|PQ|=6-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}-\frac{6km}{8+9{k}^{2}}=6$.
即:|PF1|+|QF1|-|PQ|为定值.
点评 本题主要考查了椭圆方程得求法和直线与圆锥曲线的位置关系,属于难度较大的题型.
A. | 3 | B. | 4 | C. | 5 | D. | 6 |