题目内容
17.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$,则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为( )A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{5}{3}$ | C. | $\frac{5}{6}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
分析 由已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,我们易求出数列的公比,再结合存在两项am、an使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$,我们可以求出正整数m,n的和,再结合基本不等式中“1”的活用,即可得到答案.
解答 解:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
∵a7=a6+2a5,则a1•q6=a1•q5+2a1•q4
即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去)
若$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$,即a1•${2}^{\frac{m+n-2}{2}}$=32a1,
则m+n=12,
则12($\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$)=(m+n)($\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$)=5+($\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$)
≥5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=9,
当且仅当n=2m=8时,$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$,
故选D.
点评 本题考查的知识点是等比数列的性质,基本不等式,其中根据已知中正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=32{a_1}$,将问题转化为用基本不等式求最值是解答本题的关键.
练习册系列答案
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