Question

12．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（$\frac{π}{2}$）的值；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）首先，化简函数解析式，借助于辅助角公式进行处理；
（2）结合（1）和三角函数的单调性进行求解．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos2x．
=sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$+sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$+$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（$\frac{π}{2}$）=2sin（2×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）
=2（-sin$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{6}$+2kπ，
∴-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，
∴f（x）的单调增区间[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]（k∈Z）．

点评 本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式、三角函数的单调性等知识，属于中档题．