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题目内容

13.已知点P(x,y)满足{x1y1xy10,目标函数z=x+ay(a<0)的最大值与最小值之和为0,则a的值为(  )
A.-32B.-2C.-1D.-12

分析 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出a的取值范围.

解答 解:作出不等式对应的平面区域,
其中A(1,1),B(1,0),C(2,1),
由z=x+ay得y=-1ax+za
∵a<0,∴目标函数的斜率k=-1a>0,
①若k=-1a=1,即a=-1时,当直线y=-1ax+za=x-z经过A时,截距最小zmin=1+a=1-1=0,
当直线y=-1ax+za=x-z经过B时,截距最大zmax=1,
此时zmax+zmin=1+0=1,不满足条件.
②若k=-1a>1,即-1<a<0时,当直线y=-1ax+za=x-z经过A时,截距最小zmin=1+a,
当直线y=-1ax+za=x-z经过C时,截距最大zmax=2+a,
此时由zmax+zmin=2+a+1+a=0得a=-32,不满足条件-1<a<0.此时不成立.
③若k=-1a∈(0,1),即a<-1时,当直线y=-1ax+za=x-z经过A时,截距最小zmin=1+a,
当直线y=-1ax+za=x-z经过B时,截距最大zmax=1,
此时由zmax+zmin=1+1+a=0得a=-2,满足条件a<-2.此时成立.
综上a=-2.
故选:B

点评 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.注意要对a进行分类讨论.

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