Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（-2，0）．点O是坐标原点．
（1）设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，若四边形OACB是平行四边形，求点C的坐标；
（2）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，求证$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）；
（3）求＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞的值；
（4）若$\overrightarrow{c}$$⊥\overrightarrow{b}$（$\overrightarrow{c}$≠$\overrightarrow{0}$），当t∈[-$\sqrt{3}$，2]时，求|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|的取值范围；
（5）若|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$|，求（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值及＜$\overrightarrow{c}$-$\frac{\overrightarrow{b}}{2}$，$\overrightarrow{c}$＞的最大值．

Answer 1

分析 （1）由向量加法的平行四边形法则，可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，即可得到所求；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（3）运用向量的夹角公式，计算即可得到；
（4）设$\overrightarrow{c}$=（x，y），即有-2x=0，即x=0，y≠0，再由向量的平方即为模的平方，讨论y＞0，y＜0，即可得到t的二次函数，求得最值，即可得到所求范围；
（5）运用向量的几何意义，通过圆的知识，即可得到（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值，再由余弦定理，结合基本不等式即可得到＜$\overrightarrow{c}$-$\frac{\overrightarrow{b}}{2}$，$\overrightarrow{c}$＞的最大值．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，若四边形OACB是平行四边形，
则$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（1，$\sqrt{3}$）+（-2，0）=（-1，$\sqrt{3}$），即有C（-1，$\sqrt{3}$）；
（2）证明：若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，则$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
即有$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-（$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²）=-（4-4）=0，
则$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）；
（3）cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\sqrt{9+3}•2}$=$\frac{4+2}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{π}{6}$；
（4）若$\overrightarrow{c}$$⊥\overrightarrow{b}$（$\overrightarrow{c}$≠0），则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=0，
设$\overrightarrow{c}$=（x，y），即有-2x=0，即x=0，y≠0，
则f（t）=|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|²=$\overrightarrow{a}$²-$\frac{2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$+t²
=t²+4-$\frac{2\sqrt{3}y}{|y|}$t，当y＞0时，f（t）=t²+4-2$\sqrt{3}$t，
由t∈[-$\sqrt{3}$，2]，可得f（t）∈[1，13]；
当y＜0时，f（t）=t²+4+2$\sqrt{3}$t，
由t∈[-$\sqrt{3}$，2]，可得f（t）∈[13，8+4$\sqrt{3}$]．
即有f（t）∈[1，8+4$\sqrt{3}$]，
则|a-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|的取值范围为[1，$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$]；
（5）|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$|=2，设$\overrightarrow{c}$=（m，n），即有m²+n²=4，
即为以O为圆心，2为半径的圆，
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$=m（m-1）+n（n+$\sqrt{3}$）=（m-$\frac{1}{2}$）²+（n+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-1，
即为点（m，n）与（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距离的平方减去1，
连接圆心和（（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）延长与圆相交，可得F即为所求．
则有（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值为（2+$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$）²-1=8；
又$\overrightarrow{OD}$=（-1，0）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，＜$\overrightarrow{c}$-$\frac{\overrightarrow{b}}{2}$，$\overrightarrow{c}$＞=＜$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{OP}$＞=∠OPD，
设PD=x，由余弦定理可得cos∠OPD=$\frac{4+{x}^{2}-1}{4x}$=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{3}{x}$）≥$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当x=$\sqrt{3}$＜2，取得等号．
可得∠OPD≤$\frac{π}{6}$，即有＜$\overrightarrow{c}$-$\frac{\overrightarrow{b}}{2}$，$\overrightarrow{c}$＞的最大值为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标运算，考查向量垂直的条件和夹角的大小和最值的求法，同时考查函数的思想和数形结合的思想方法，属于综合题．