Question

【题目】已知函数.

（1）当时，设函数，求函数的单调区间和极值；

（2）设是的导函数，若对任意的恒成立，求的取值范围；

（3）若，，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）当a＝1，求得函数g（x）的解析式，求导，g′（x）＜0和g′（x）＞0，求得函数g（x）的单调递减区间和单调递增区间，g′（x）＝0，x，由函数的单调性可知x为函数g（x）的极小值；

（2）求得f′（x），将原不等式转化成，2lna≤x﹣2lnx﹣1在x＞0上恒成立，构造辅助函数，h（x）＝x﹣2lnx﹣1，求导，根据函数单调性求得h（x）有最小值，即可求得实数a的取值范围；

（3）由（1）可知，根据函数的单调性可知＜＜1，可知g（）＞g（）＝ln，则ln+ln＜（2）ln（），由基本不等式的关系可知24，ln（）＜0，即ln+ln＜4ln（），根据对数函数的性质即可得到．

(1)当a=1时，g(x)==xln x，∴g'(x)=1+ln x.令g'(x)=0得x=.

当x∈时，g'(x)<0，g(x)单调递减，

当x∈时，g'(x)>0，g(x)单调递增，

∴当x=时，g(x)取得极小值-.

(2)f'(x)=2x(ln x+ln a)+x，

≤1，即2ln x+2ln a+1≤x，

所以2ln a≤x-2ln x-1在x>0上恒成立，

设u(x)=x-2ln x-1，则u'(x)=1-.

令u'(x)=0，得x=2.

当0<x<2时，u'(x)<0，u(x)单调递减；当x>2时，u'(x)>0，u(x)单调递增，

∴当x=2时，u(x)有最小值u(2)=1-2ln 2.

∴2ln a≤1-2ln 2，解得0<a≤.∴a的取值范围是.

(3)由(1)知g(x)=xln x在内是减函数，在上是增函数.

∵<<<1，∴g()=()ln()>g()=ln ，

即ln x1<ln().

同理ln <ln().

∴ln +ln<ln(x1+x2)=ln().

又∵2+≥4，当且仅当“=”时，取等号.

又，∈，<1，ln()<0，

∴ln()≤4ln()，

∴ln+ln＜4ln（）.∴.