题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
是边长为
的等边三角形，
（1）证明：
.
（2）求二面角
的余弦值..
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先根据余弦定理计算得
，再根据勾股定理得
,即得
为等腰直角三角形，取
的中点
，可得
结合条件根据线面垂直判定定理得
，即得
根据勾股定理得
，根据线面垂直判定定理得
，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.
（1）在中，
，
，
，由余弦定理可得，
故
，所以
，且为等腰直角三角形.
取的中点，连接
，由
，得
，连接
，
因为
，所以，所以
.
又
，
，
，所以
，即.
又
，所以
，又
.
所以
.
（2）解：以为原点，
，
，
所在的直线分别为
建立如图所示的空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
.
设平面
的法向量
，
，
，
，令
，则
，所以
，
设平面
的法向量
，
，
，
，令
，则
，所以
，
故
.
因为二面角
为锐角，所以二面角的余弦值为
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