题目内容
【题目】在四棱柱中,
底面
,底面
为菱形,
为
与
交点,已知
,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证: ∥平面
;
(Ⅲ)设点在
内(含边界),且
,说明满足条件的点
的轨迹,并求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)点的轨迹是线段
,
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求证:平面
,证明线面垂直,即证线线垂直,即在平面
找两条相交直线与
垂直,由于底面
为菱形,则
,又
底面
,得
底面
,即
,从而得证;(Ⅱ)求证:
∥平面
,证明线面平行,首先证明线线平行,可用三角形的中位线平行,也可用平行四边形的对边平行,注意到
是
的中点,连接
,交
于点
,连接
,证得四边形
是平行四边形,从而得
∥
,从而可证
∥平面
;(Ⅲ)连接
,则
,又在
中,
,又
为
中点,所以
,得
平面
,由已知可知,
∥
,由
,得
,故
点一定在线段
上,这样就得到点
的轨迹,进而可得
的最小值.
试题解析:解:(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱中,
底面
,所以
底面
.
又底面
,
所以
.
因为为菱形,
所以.
而,
所以平面
.
(Ⅱ)连接,交
于点
,连接
.
依题意, ∥
,
且,
,
所以为矩形.
所以∥
.
又,
,
,
所以=
,所以
为平行四边形,
则∥
.
又平面
,
平面
,
所以∥平面
.
(Ⅲ)在内,满足
的点
的轨迹是线段
,包括端点.
分析如下:连接,则
.
由于∥
,故欲使
,只需
,从而需
.
又在中,
,又
为
中点,所以
.
故点一定在线段
上.
当时,
取最小值.
在直角三角形中,
,
,
,
所以.
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