题目内容
16.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,点(an,2an+1)在l上,且a1=1,则a8=( )A. | -$\frac{7}{2}$ | B. | -4 | C. | -$\frac{9}{2}$ | D. | -$\frac{5}{2}$ |
分析 先根据f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8求出函数f(x)的解析式,然后对函数f(x)进行求导,进而可得到y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求导切线方程,构造等差数列进行求解即可..
解答 解:∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,
∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8.
∴f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8.
将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8
得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8.
∴f(x)=x2,f'(x)=2x
∴y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为y′=2.
∴函数y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
∵点(an,2an+1)在l上
∴2an+1=2an-1,
即an+1-an=-$\frac{1}{2}$,
则数列{an}是公差d=-$\frac{1}{2}$的等差数列,首项为a1=1,
则an=1-$\frac{1}{2}$(n-1)=-$\frac{1}{2}$(n-3),
则a8=-$\frac{5}{2}$,
故选:D.
点评 本题主要考查数列的求解,根据导数的几何意义求出函数的切线方程,利用构造法构造等差数列是解决本题的关键.
练习册系列答案
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7.设x>y>0,则下列各式中正确的是( )
A. | x>$\frac{x+y}{2}$>$\sqrt{xy}$>y | B. | y>$\frac{x+y}{2}$>$\sqrt{xy}$>x | C. | x>$\frac{x+y}{2}$>y>$\sqrt{xy}$ | D. | y>$\frac{x+y}{2}$≥$\sqrt{xy}$>x |
1.定积分$\int_{-2π}^{2π}{({2x-sinx})}$的值为( )
A. | -1 | B. | 0 | C. | 1 | D. | 2 |