题目内容

【题目】设函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|>m对一切实数x均成立,求m的取值范围.

【答案】
(1)

解:当x≥4时f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0得 x>﹣5,所以,x≥4时,不等式成立.

时,f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0,得x>1,所以,1<x<4时,不等式成立.

时,f(x)=﹣x﹣5>0,得x<﹣5,所以,x<﹣5成立

综上,原不等式的解集为:{x|x>1或x<﹣5}


(2)

解:f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9,当且仅当﹣ ≤x≤4时,取等号,

所以,f(x)+3|x﹣4|的最小值为9,故 m<9


【解析】(1)分类讨论,当x≥4时,当 时,当 时,分别求出不等式的解集,再把解集取交集.(2)利用绝对值的性质,求出f(x)+3|x﹣4|的最小值为9,故m<9.

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