Question

【题目】已知函数.

（1）若函数与在处有相同的切线，求的值；

（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围.

（3）若，恒有成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）2.

【解析】试题分析：（1）分别求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率，再根据解出，n的值；（2）即导函数变号，求出导函数得在内有至少一个实根且变号，结合二次函数图像可得判别式大于零，即，最后根据基本不等式求最值（3）先根据绝对值定义去掉绝对值，当时；当时，，转化为恒成立问题，再利用参变分离法将其转化为对应函数最值问题，最后根据导数求对应函数最值得实数的取值范围，进而得最大值.

试题解析：（1）函数在处的切线方程为 ，

由得，由得；

（2），

因为在定义域内不单调，所以在内有至少一个实根且曲线与不相切，

因为，于是，

所以知，所以，

（3）当时，由得，当时；

当时，，

令，则问题转化为：当时，恒成立，当时，恒成立，

而，当时，函数是单调函数，最小值为，

为使恒成立，注意到，所以，即，

同理，当时，，

综上，当，即的最大值为2.