Question

已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,与在第一和第四象限的交点分别为.
(1)若是边长为的正三角形，求抛物线的方程；
(2)若，求椭圆的离心率.

Answer 1

（1）抛物线的方程为；（2）椭圆的离心率.

试题分析：（1）先根据抛物线及椭圆的几何性质得到点关于轴对称，进而由求得点的坐标，接着代入抛物线的方程可求得的值，从而可确定抛物线的方程；（2）先根据确定的横坐标为，进而代入椭圆的方程可确定点的坐标，再将该点的坐标代入抛物线，从中可得关系式，另一方面，从而得到，即，只须求解关于的方程即可得到内的解.
试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为
∵是边长为的正三角形，∴点的坐标是
代入抛物线的方程解得，故所求抛物线的方程为
（2）∵，∴点的横坐标是代入椭圆方程解得，即点的坐标是
∵点在抛物线上，∴即
将代入上式整理得：
即，解得
∵，故所求椭圆的离心率.