Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，求证：.

Answer 1

【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞);(2)见解析.

【解析】分析：（1）当a=时，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函数f（x）的单调区间；

（2）构造函数F（x）=x﹣f（x）=ex﹣（a﹣1）x，利用导数证明F（x）≥0即可．

详解：(1)当a=1时，f(x)＝x－ex.

令f′(x)＝1－ex＝0，得x＝0.

当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．

(2)证明：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x.

①当a＝1时，F(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立；

②当1<a≤1＋e时，F′(x)＝ex－(a－1)＝ex－eln(a－1)，

当x<ln(a－1)时，F′(x)<0；当x>ln(a－1)时，F′(x)>0，

∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，

∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，

∵1<a≤1＋e，∴a－1>0，1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，

∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．

综上，当1≤a≤1＋e时，有f(x)≤x.