题目内容
【题目】已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)= 给出下列结论: ①函数f(x)的值域为(0,8];
②对任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;
③存在k∈( ,
),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有5个公共点;
④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”
其中正确命题的序号是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
【答案】C
【解析】解:①当1≤x<2时,f(x)=﹣8x(x﹣2)=﹣8(x﹣1)2+8∈(0,8], ②∵f(1)=8,
∴f(2n)= f(2n﹣1)=
f(2n﹣2)=
f(2n﹣3)=…=
f(20)=
f(1)=
×8=23﹣n , 故②正确,
③当x≥2时,f(x)= f(
)∈0,4],故函数f(x)的值域为(0,8];故①正确,
当2≤x<4时,1≤ <2,则f(x)=
f(
)=
[﹣8(
﹣1)2+8]=﹣4(
﹣1)2+4,
当4≤x<8时,2≤ <4,则f(x)=
f(
)=
[﹣4(
﹣1)2+4]=﹣2(
﹣1)2+2
作出函数f(x)的图象如图:
作出y= x和y=
x的图象如图,
当k∈( ,
),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有3个公共点;故③错误,
④由分段函数的表达式得当x∈(2n , 2n+1)时,函数f(x)在(2n , 2n+1)上为单调递减函数,
则函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”为真命题.,故④正确,
故选:C
①根据分段函数的表达式结合函数的最值进行求解判断,
②利用f(2n)= f(1)进行求解判断,
③作出函数f(x)和y=kx的图象,利用数形结合进行判断,
④根据分段函数的单调性进行判断.
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【题目】为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
组别 | 候车时间 | 人数 |
一 | [0,5) | 2 |
二 | [5,10) | 6 |
三 | [10,15) | 4 |
四 | [15,20) | 2 |
五 | [20,25] | 1 |
(Ⅰ)求这15名乘客的平均候车时间;
(Ⅱ)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
(Ⅲ)若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.