Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ACC1A1和BCC1B1均为正方形，且所在平面互相垂直．

（Ⅰ）求证：BC1⊥AB1；

（Ⅱ）求直线BC1与平面AB1C1所成角的大小．

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由题意建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出⊥，即BC1⊥AB1；

（Ⅱ）求出平面AB1C1的法向量，再求与所成的角，即可得出直线BC1与平面AB1C1所成的角．

（Ⅰ）由题意，建立空间直角坐标系，如图所示；

设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长AC＝1，则C（0，0，0），

A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，1），B1（0，1，1），

C1（0，0，1），

∴（0，﹣1，1），（﹣1，1，1），

∴0﹣1+1＝0，

∴⊥，即BC1⊥AB1；

（Ⅱ）设平面AB1C1的法向量为（x，y，z），

则，

∴，

∴，

x＝1，（1，0，1）；

cos，，

∴与所成的角是60°，

∴直线BC1与平面AB1C1所成的角为30°．