题目内容

17.直线y=m分别与曲线y=2x+3,y=x+lnx交于A、B,则|AB|的最小值为(  )
A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{3\sqrt{2}}{4}$C.2D.3

分析 设A(x1,a),B(x2,a),则2x1+3=x2+lnx2,表示出x1,求出|AB|,利用导数求出|AB|的最小值.

解答 解:设A(x1,a),B(x2,a),则2x1+3=x2+lnx2
∴x1=$\frac{1}{2}$(x2+lnx2)-$\frac{3}{2}$,
∴|AB|=x2-x1=$\frac{1}{2}$(x2-lnx2)+$\frac{3}{2}$,
令y=$\frac{1}{2}$(x-lnx)+$\frac{3}{2}$,则y′=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{x}$),
∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴x=1时,函数的最小值为2,
故选:C.

点评 本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确求导确定函数的单调性是关键.

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