题目内容
【题目】已知双曲线(b>a>0),O为坐标原点,离心率
,点
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于P、Q两点,且
.求|OP|2+|OQ|2的最小值.
【答案】1
;
2
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ) 由,可得
,故双曲线方程为
,代入点
的坐标可得
,由此可得双曲线方程. (Ⅱ)根据直线
的斜率存在与否分两种情况求解.当斜率存在时,可根据一元二次方程根与系数的关系及两点间的距离公式求解即可.当斜率不存在时直接计算可得结果.
试题解析:
(1)由,可得
,
∴,
∴ 双曲线方程为,
∵ 点在双曲线上,
∴,
解得 ,
∴ 双曲线的方程为.
(2)①当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
由消去y整理得
,
∵直线与双曲线交于
两点,
∴.
设,
,
则,
由得到:
,
即,
∴,
化简得.
∴,
当时上式取等号,且方程(*)有解.
②当直线的斜率不存在时,设直线
的方程为
,则有
,
由可得
,
可得,解得
.
∴.
∴
.
综上可得的最小值是24.
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