题目内容
【题目】已知椭圆C： 
（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线 
的焦点相同，F1 ， F2为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF1F2面积的最大值为4 
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的任意一点N（x0 ， y0），从原点O向圆N：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3作两条切线，分别交椭圆于A，B两点．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．
【答案】
（1）
解：抛物线 
的焦点为（2 
，0），
由题意可得c=2 ，
△MF1F2面积的最大值为4 ，可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值．
即有 
b2c=4 ，解得b=2，a2=b2+c2=4+8=12，
则椭圆方程为 
（2）
证明：设直线OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1，y1），B（x2，y2），
设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切线方程为y=kx，
则有 
= 
，整理得（x02﹣3）k2﹣2x0y0k+y02﹣3=0，
即有k1+k2= 
，k1k2= 
，
又因为 
，所以可求得k1k2= 
=﹣ 
，
将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12，
得x12= 
，则y12= 
，
同理可得x22= 
，y22= 
，
所以|OA|2+|OB|2= 
+ 
= 
= 
=16．
所以|OA|2+|OB|2的值为定值16
【解析】（1）求得抛物线的焦点，可得c，再由当M位于椭圆短轴端点处△MF1F2面积取得最大值．可得b，由a，b，c的关系求得a，进而得到椭圆方程；（2）设直线OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切线方程为y=kx，运用直线和圆相切的条件：d=r，联立直线OA、OB方程和椭圆方程，求得A，B的坐标，运用韦达定理，化简整理，即可得到定值．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能得出正确答案．
同步练习强化拓展系列答案【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
A1 | 上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% |
A2 | 上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% |
A3 | 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% |
A4 | 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% |
A5 | 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮10% |
A6 | 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）
（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．
【题目】柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为
的雾霾天数．
