题目内容

【题目】已知定圆,定直线,过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于 两点, 中点.

)当垂直时,求证: 过圆心

)当,求直线的方程.

)设,试问是否为定值,若为定值,请求出的值;若不为定值,请说明理由.

【答案】见解析;.(

【解析】试题分析:(I)由已知,故,所以直线的方程为,即可证明;(II)当直线轴垂直时,易知符合题意;当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求解;(III)当轴垂直时,易得,求得;当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程,利用根与系数的关系,化简即可求解定值.

试题解析:()由已知,故,所以直线的方程为.

将圆心代入方程易知过圆心.

)当直线轴垂直时,易知符合题意;

当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于

所以,由,解得.

故直线的方程为.

)当轴垂直时,易得,又,则

,故,.

的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得

,则.

,即

.又由

.

综上, 的值为定值,且.

另解一:连结,延长交于点,由()知,又

.于是有.

,得.

.

另解二:连结并延长交直线于点,连结,由()知,又

所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得

.

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