题目内容
【题目】已知定圆,定直线,过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于, 两点, 是中点.
(Ⅰ)当与垂直时,求证: 过圆心.
(Ⅱ)当,求直线的方程.
(Ⅲ)设,试问是否为定值,若为定值,请求出的值;若不为定值,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)或.(Ⅲ).
【解析】试题分析:(I)由已知,故,所以直线的方程为,即可证明;(II)当直线与轴垂直时,易知符合题意;当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求解;(III)当与轴垂直时,易得, ,求得;当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程,利用根与系数的关系,化简即可求解定值.
试题解析:(Ⅰ)由已知,故,所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心.
(Ⅱ)当直线与轴垂直时,易知符合题意;
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,
所以,由,解得.
故直线的方程为或.
(Ⅲ)当与轴垂直时,易得, ,又,则,
,故,即.
当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得
,则.
,即,
.又由得,
则.
故,
综上, 的值为定值,且.
另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知,又于,
故.于是有.
由, ,得.
故.
另解二:连结并延长交直线于点,连结, ,由(Ⅰ)知,又,
所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得
.