题目内容
【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
、
,上顶点为B,O为坐标原点,且向量
与
的夹角为
.
求椭圆
的方程;
设
,点P是椭圆
上的动点,求
的最大值和最小值;
设不经过点B的直线l与椭圆
相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1,证明:直线l过定点.
【答案】(1);(2)最大值6,最小
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由向量与
的夹角为
,可得
可得
,即可得到椭圆方程;(2)设
,代入椭圆方程,结合数量积公式可得
,利用二次函数的性质可得结果;(3)设不经过点
的直线
方程为:
,联立椭圆方程可得
,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简
可得
,代入直线方程即可得证.
椭圆
:
的
,向量
与
的夹角为
,
可得,即
,
则椭圆方程为;
设
,可得
,即
,
,
由可得
时,上式取得最小值
;
时,取得最大值6,
则的范围是
;
证明:当直线l的斜率不存在时,设
,
,
由,
,
,得
,此时M,N重合,不符合题意;
设不经过点P的直线l方程为:,
,
,
由得
,
,
,
,
,
,
,
,
直线l必过定点.
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