题目内容
【题目】已知函数f（x）=2x ．
（1）解方程f（log4x）=3；
（2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，求实数a的取值范围；
（3）存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围．
【答案】
（1）解：∵f（x）=2x，
∴f（log4x）=3 
= 
= 
=3，解得：x=9，
即方程f（log4x）=3的解为：x=9；
（2）解：∵f（x）=2x，为R上的增函数，
∴由f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，
得x+1≤（2x+a）2（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为 
≤2x+a恒成立
∴a≥（﹣2x+ ）max，x∈[0，15]．
设m（x）=﹣2x+ ，令 =t（1≤t≤4），则x=t2﹣1，t∈[1，4]，
∴m（t）=﹣2（t2﹣1）+t=﹣2（t﹣ 
）2+ 
，
所以，当t=1时，m（x）max=1，
∴a≥1．
（3）解：令2x=t，∵x∈（﹣∞，0]，
∴t∈（0，1），
∴存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，
所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，
即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣ 
）max或a＞（t+ ）min，
∴a≤0或a≥2；
【解析】（1）依题意，f（log4x）=3 
=3，即 
= 
=3，从而可解得x=9；（2）利用指数函数y=2x的单调性可得：f（x+1）≤f[（2x+a）2]x+1≤（2x+a）2，依题意，整理可得a≥（﹣2x+ 
）max，x∈[0，15]．利用换元法可解得a的取值范围；（3）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，即存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，分离参数a，即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣ 
）max或a＞（t+ ）min，解之即可；
