题目内容
【题目】已知函数f(x)=2x .
(1)解方程f(log4x)=3;
(2)已知不等式f(x+1)≤f[(2x+a)2](a>0)对x∈[0,15]恒成立,求实数a的取值范围;
(3)存在x∈(﹣∞,0],使|af(x)﹣f(2x)|>1成立,试求a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)=2x,
∴f(log4x)=3 =
=
=3,解得:x=9,
即方程f(log4x)=3的解为:x=9;
(2)解:∵f(x)=2x,为R上的增函数,
∴由f(x+1)≤f[(2x+a)2](a>0)对x∈[0,15]恒成立,
得x+1≤(2x+a)2(a>0)对x∈[0,15]恒成立,
因为a>0,且x∈[0,15],所以问题即为 ≤2x+a恒成立
∴a≥(﹣2x+ )max,x∈[0,15].
设m(x)=﹣2x+ ,令
=t(1≤t≤4),则x=t2﹣1,t∈[1,4],
∴m(t)=﹣2(t2﹣1)+t=﹣2(t﹣ )2+
,
所以,当t=1时,m(x)max=1,
∴a≥1.
(3)解:令2x=t,∵x∈(﹣∞,0],
∴t∈(0,1),
∴存在x∈(﹣∞,0],使|af(x)﹣f(2x)|>1成立存在t∈(0,1)使得|t2﹣at|>1,
所以存在t∈(0,1)使得t2﹣at>1或t2﹣at<﹣1,
即存在t∈(0,1)使得a<(t﹣ )max或a>(t+
)min,
∴a≤0或a≥2;
【解析】(1)依题意,f(log4x)=3 =3,即
=
=3,从而可解得x=9;(2)利用指数函数y=2x的单调性可得:f(x+1)≤f[(2x+a)2]x+1≤(2x+a)2,依题意,整理可得a≥(﹣2x+
)max,x∈[0,15].利用换元法可解得a的取值范围;(3)令2x=t,则存在t∈(0,1)使得|t2﹣at|>1,即存在t∈(0,1)使得t2﹣at>1或t2﹣at<﹣1,分离参数a,即存在t∈(0,1)使得a<(t﹣
)max或a>(t+
)min,解之即可;
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