题目内容
【题目】如图,已知抛物线的焦点为
,准线为
,过点
的直线交抛物线于
,
两点,点
在准线
上的投影为
,点
是抛物线上一点,且满足
.
(1)若点坐标是
,求线段
中点
的坐标;
(2)求面积的最小值及此时直线
的方程.
【答案】(1);(2)最小值是16,此时直线
的方程是
或
.
【解析】
(1)设,
,
,则
,由题意得
,直线
:
,与抛物线方程
联立,则可得
的值,再根据
,
均在抛物线上,代入并作差,可得
的中点坐标与
斜率的关系,再利用
,求得线段
中点
的坐标.
(2)将直线的方程用
表示出来,并与抛物线方程
联立,再根据弦长公式求出
,利用点到直线的距离公式,求出点
到直线
的距离为
,运用
,结合均值不等式可求得
面积的最小值及此时直线
的方程.
解:(1)设,
,
,则
,由题意得
,
直线:
,又
,得
,则
,
又,得
,
得,又
得
,即
解得,即
,
由,得
,
,
故,
,线段
中点
的坐标为
.
(2)由(1)可知,
,
设直线方程为
,即
由得
,所以
点到直线
的距离是
所以
而
等号成立当且,解得
.
此时,
或
,
.
因此面积的最小值是16,
此时直线的方程是
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目