题目内容

8.已知M={x,xy,$\sqrt{x-y}$},N={0,|x|,y},若M⊆N,且N⊆M,则($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$)+($\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$)+…+($\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2010}}$)+($\frac{1}{{x}^{2011}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$)=-2.

分析 根据条件相等得到M=N,根据集合相等求出,x,y的值,结合等比数列的前n项和公式进行求解即可.

解答 解:∵若M⊆N,且N⊆M,
∴M=N,
∵M={x,xy,$\sqrt{x-y}$},N={0,|x|,y},
∴①若x=0,则M={0,0,$\sqrt{-y}$}不成立,
②如xy=0,则x=0(舍)或y=0,
若y=0,则M={x,0,$\sqrt{x}$},N={0,|x|,0},此时有N不成立,
③若$\sqrt{x-y}$=0,则x=y,此时M={x,x2,0},N={0,|x|,x},
则若M=N,则x2=|x|,解得x=0,或1或-1,
当x=0时,M={0,0,0}不成立,
当x=1时,M={1,0,1}不成立.
若x=-1,则M={-1,1,0},N={0,-1,1},满足条件.
此时y=x=-1,
则($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$)+($\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$)+…+($\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2010}}$)+($\frac{1}{{x}^{2011}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$)
=($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+…+$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{x}^{2011}}$)+($\frac{1}{y}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+…+$\frac{1}{{y}^{2010}}$+$\frac{1}{{y}^{2011}}$)
=2($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+…+$\frac{1}{{x}^{2010}}$+$\frac{1}{{x}^{2011}}$)
=$\frac{2×\frac{1}{x}[1-(\frac{1}{x})^{2011}]}{1-\frac{1}{x}}$=$\frac{-2(1+1)}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2$,
故答案为:-2

点评 本题主要考查集合相等的应用以及等比数列的前n项和公式的计算,考查学生的运算和推理能力.

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