题目内容
【题目】已知函数
，
(Ⅰ)若
讨论
的单调性；
(Ⅱ)若过点
可作函数
图象的两条不同切线，求实数
的取值范围．
【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 
．
【解析】试题分析：(Ⅰ)分
讨论函数
的单调性；(Ⅱ)求出经过点P的切线方程，由
在切线上，得到
，问题转化为
有两个不同的正数解，令
，由单调性求出a的范围.
试题解析：(Ⅰ) 
①当
时， 
,此时, 
上是减函数
②当
时, 
,得
；
，得
此时, 
在
上单调递减，在
是增函数
③当
时，解
，得，
此时, 
在
和
是减函数，在
是增函数
(Ⅱ)设点
是函数
图象上的切点，则过点
的切线的斜率为
，
所以过点
的切线方程为
．
因为点
在切线上，所以
即
．
若过点
可作函数
图象的两条不同切线，
则方程
有两个不同的正数解．
令
，则函数
与
轴正半轴有两个不同的交点．
令
，解得
或
．
因为
， 
，
所以必须
，即
．
所以实数
的取值范围为
．
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