Question

20．己知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（3）若函数f（x）定义在（-2，2）上，在（2）条件下解不等式f（x-2）+f（2x-1）＞0．

Answer 1

分析 （1）按取点，作差，变形，判断的过程来即可；
（2）利用奇函数定义域内有0，f（0）=0来求a值；
（3）利用单调性和奇偶性把f（2x-1）+f（x-2）＞0，转化为-2＜2-x＜2x-1＜2，解不等式，即可得到所求解集..

解答 解：（1）f（x）在R上递增．
证明；设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵y=2^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，
故${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x）在R上是单调递增函数；
（2）由函数定义域为R，
∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，即a-$\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0，
解得a=1；
（3）由（1）（2）可得f（x）在（-2，2）上是单调增函数且是奇函数，
∴f（x-2）+f（2x-1）＞0．
即有f（2x-1）＞-f（x-2）=f（2-x），
即为$\left\{\begin{array}{l}{-2＜2x-1＜2}\\{-2＜2-x＜2}\\{2x-1＞2-x}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\\{0＜x＜4}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
解得1＜x＜$\frac{3}{2}$，
则解集为（1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题综合考查了函数的单调性和奇偶性及运用：解不等式．同时考查奇函数的性质和不等式的解法，属于中档题．