题目内容
9.设$\overrightarrow{a}$=(cosx+sinx,$\sqrt{3}$cosx),$\overrightarrow{b}$=(cosx-sinx,2sinx),其中x∈R.函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$.(1)求函数f(x)的最大值、最小值及相应x的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
分析 (1)利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f(x),再利用正弦函数的单调性与值域即可得出最值;
(2)利用正弦函数的单调性即可得出.
解答 解:(1)函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2$sin(2x+\frac{π}{6})$.
当2x+$\frac{π}{6}$=$2kπ+\frac{π}{2}$,即x=$kπ+\frac{π}{6}$时,$sin(2x+\frac{π}{6})$取得最大值1.因此函数f(x)取得最大值2.
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$,即x=kπ-$\frac{π}{3}$时,$sin(2x+\frac{π}{6})$取得最小值-1.因此函数f(x)取得最小值-2.
(2)由$\frac{π}{2}+2kπ$≤$2x+\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ,解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$+kπ],k∈Z.
点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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