题目内容
【题目】如图所示,椭圆:
(
)的离心率为
,左焦点为
,右焦点为
,短轴两个端点
、
,与
轴不垂直的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,记直线
、
的斜率分别为
、
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证直线与
轴相交于定点,并求出定点坐标;
(3)当弦的中点
落在
内(包括边界)时,求直线
的斜率的取值.
【答案】(1)(2)
(3)
或
【解析】试题分析:(1)由焦点坐标可得c值,由离心率可得a值,据a,b,c关系可求得b;(2)设直线l的方程为y=kx+b,M、N坐标分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程,由韦达定理及斜率公式可用k,b表示出等式,由此可求得b值,进而可求得直线所过定点;(3)由(2)中的一元二次方程可求得判别式大于0求得k的范围,设弦AB的中点P坐标则可分别表示出x0和y0,易判断p点在x轴上方,从而得一关于x0,y0的不等式组,将坐标代入,解出即可;
解析:
(1)由题意可知:椭圆的离心率
,
∴
,
故椭圆的方程为
(2)设直线的方程为
,
,
坐标分别为
,
由得
.
∴,
,
∴,
。
∴=
将韦达定理代入,并整理得
,解得
.
∴直线与
轴相交于定点
;
(3)由(2)中,
其判别式,得
.①
设弦的中点
坐标为
,则
,
∵弦的中点
落在
内(包括边界),∴
将坐标代入,整理得
解得
由①②得所求范围为或
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