题目内容
【题目】现有正整数构成的数表如下:
第一行:1
第二行:1 2
第三行:1 1 2 3
第四行:1 1 2 1 1 2 3 4
第五行:1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5
…… …… ……
第行:先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,...,直至按原序抄写第
行,最后添上数
.(如第四行,先抄写第一行的数1,接着按原序抄写第二行的数1,2,接着按原序抄写第三行的数1,1,2,3,最后添上数4).
将按照上述方式写下的第个数记作
(如
)
(1)用表示数表第
行的数的个数,求数列
的前
项和
;
(2)第8行中的数是否超过73个?若是,用表示第8行中的第73个数,试求
和
的值;若不是,请说明理由;
(3)令,求
的值.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)根据题意可以写出当时,
,
,于是
,即
,所以
,故
;(2)根据
,第8行中共有
个数,所以,第8行中的数超过73个,所以
,从而,
,由
,
,所以,按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第
个数,同上过程知
,所以,
.(3)由于数表的前
行共有
个数,于是,先计算
.在前
个数中,共有1个
,2个
,
个
,……,
个
,……,
个1,因此
,则
,两式相减,得
.
试题解析:(1)当时,
,
,
于是,即
,又
,
,
所以,
故.
(2)由得第8行中共有
个数,
所以,第8行中的数超过73个,
,
从而, ,
由,
,
所以,按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第个数,同上过程知
,
所以, .
(3)由于数表的前行共有
个数,于是,先计算
.
在前个数中,共有1个
,2个
,
个
,……,
个
,……,
个1,
因此
,
则
,
两式相减,得
.
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